다가

다(가)

어떤 동작이나 상태 따위가 중단되고 다른 동작이나 상태로 바뀜을 나타내는 연결 어미.Indicates that an action or a state stops (ends) and a different action or a state begins

(‘이다’의 어간, 용언의 어간 또는 어미 ‘-으시-’, ‘-었-’, ‘-겠-’ 뒤에 붙어)It can be combined with '~하다', '으시', '었', '겠'

아이는 공부를 하다가 잠이 들었다. (하다) 교실이 조용하다가 갑자기 시끄러워졌다. (하다)10년 동안 과장이었다가 부장이 된 사람 (었)= 10년 동안 과장이다가 부장이 된 사람 이름을 썼다가 지웠다. (었)
갔다 왔다 -- 에서 '갔다' 도 비슷한 건가 봐요.
이름을 쓰다 지웠다. (OK) While he was writing his name, he deleted it.이름을 썼다 지웠다. (OK) After he finished writing his name, he deleted it. 
학교에 가다 도로 집에 왔다. (OK) While he was going to his school,(before reaching school)  he returned home.학교에 갔다 도로 집에 왔다. (OK) After he got to his school,  he returned home.
가져다 썼다. (OK)가졌다 썼다. (not OK) <-- 이건 왜 안 되는지 모르겠네요.
가다 왔다. (not OK)갔다 왔다 (OK)
10년 동안 과장이었다가 부장이 된 사람 10년 동안 과장이다가 부장이 된 사람 * 위 두 문장은 뜻에 차이가 없습니다.